对NURBS的一些理解

本文介绍了NURBS曲线的几个核心问题！

NURBS 其名

NURBS是CAD、CAE、CAM、OpenCASCADE、Rhino、SolidWorks等几何系统中非常核心的曲线和曲面表示方法。NURBS全称是：

$$\text{Non-Uniform Rational B-Spline}$$

中文通常叫：非均匀有理 B 样条

这个名字可以拆成：

Non-Uniform   非均匀
Rational      有理
B-Spline      B 样条

也就是说：NURBS = 非均匀 + 有理 + B 样条

B样条曲线解决了什么问题

普通 Bézier 曲线公式是：

$$C(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_i$$

其中：

$$B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i$$

$P_i$ 是控制点，$B_{i,n}(t)$ 是 Bernstein 基函数。

Bézier 曲线的优点是：

• 形式简单
• 控制点直观
• 适合低阶曲线
• 二次、三次 Bézier 很常用

但 Bézier 曲线也有明显缺点：

• 高阶 Bézier 不稳定
• 任意一个控制点会影响整条曲线
• 复杂曲线需要很多段拼接
• 分段拼接时连续性需要额外处理

也就是说，Bézier 曲线更适合描述“一段曲线”，不太适合统一描述复杂长曲线。

B 样条曲线可以解决以上问题，它可以看作 Bézier 曲线的推广：

$$C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i$$

其中：

• $P_i$ 是控制点
• $N_{i,p}(u)$ 是 B 样条基函数
• $p$ 是曲线次数
• $u$ 是参数

和 Bézier 不同，B 样条使用的是 $N_{i,p}(u)$，而不是 Bernstein 基函数。

B 样条最大的优势是：**局部控制。**也就是说，移动一个控制点通常只影响曲线的一小段，而不会影响整条曲线。

假设一条三次 Bézier 曲线有 4 个控制点：

P0, P1, P2, P3

如果移动 $P_1$，整条 Bézier 曲线都会受到影响。而 B 样条可能有很多控制点：

P0, P1, P2, P3, P4, P5, P6, ...

对于三次 B 样条，在某个参数区间内，通常只有相邻的 4 个控制点起作用。例如某一段可能只受：

P2, P3, P4, P5

影响。

移动 $P_3$ 时，只会影响它附近的几段曲线，而不会影响整条曲线。这就是 B 样条的局部支撑性。

数学上，B 样条曲线为：

$$C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i$$

但在某个参数 $u$ 处，大部分 $N_{i,p}(u)$ 都是 $0$，只有少数几个非零。

对于 $p$ 次 B 样条，任意一个参数位置通常最多只有：

$$p+1$$

个基函数非零。

因此，计算某个点时只需要用局部的 $p+1$ 个控制点。

NURBS 曲线的四大组成

• 控制点：$P_0,P_1,\dots,P_n$决定曲线的大致形状。曲线通常不会经过所有控制点，但会被控制多边形牵引。

• 权重：$w_0,w_1,\dots,w_n$决定每个控制点对曲线的吸引力。权重越大，曲线越靠近对应控制点。

• 次数：$p$决定曲线的阶数和光滑能力，CAD 中常用2或3。

• 节点向量：$U=[u_0,u_1,\dots,u_m]$决定参数分段、局部影响范围和连续性。

什么是节点向量

节点向量是 NURBS / B 样条里最容易让人困惑的概念。

一句话先说结论：节点向量不是空间中的点，而是参数轴上的分段标记。

它决定：

• 曲线被分成几段
• 每段由哪些控制点影响（由分段序号和曲线次数决定）
• 控制点影响范围有多大
• 曲线是否经过首尾控制点
• 曲线在某些位置是否光滑
• 参数 $u$ 如何对应到曲线上的位置

假设有一条曲线，它的参数叫 $u$。

我们可以把 $u$ 看成一条一维数轴：

u 轴：
0        1        2        3        4
|--------|--------|--------|--------|

这里的 $0,1,2,3,4$ 就像道路上的里程碑。

NURBS 的节点向量就是这条参数轴上的一串里程碑：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

注意：节点值不是控制点坐标，也不是曲线点坐标。它们只是参数 $u$ 的分段位置。

节点向量和控制点数量的关系

假设：

• 控制点数量是 $n+1$
• 曲线次数是 $p$
• 节点数量是 $m+1$

它们满足：

$$m+1=(n+1)+p+1$$

也就是：

$$m=n+p+1$$

换句话说：

$$\text{节点数量}=\text{控制点数量}+\text{次数}+1$$

有效参数范围

NURBS 的参数范围不一定必须是 $[0,1]$，$[0,1]$ 只是常见的归一化选择，不是数学规定。

对于一条 $p$ 次 NURBS 曲线，节点向量为：

$$U=[u_0,u_1,\dots,u_m]$$

它的有效参数范围通常是：

$$[u_p,u_{m-p}]$$

也常写成：

$$[u_p,u_{n+1}]$$

其中：

• $p$ 是曲线次数
• $n+1$ 是控制点数量
• $m+1$ 是节点数量

例如三次曲线：

$$p=3$$

节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

那么有效参数范围是：

$$[u_3,u_7]$$

查节点向量：

$$u_3=0,\quad u_7=4$$

所以：

$$u\in[0,4]$$

这条曲线的参数范围就是 $[0,4]$，不是 $[0,1]$。

节点值本质上只是参数轴上的刻度，所以可以大于 $1$，也可以是负数，只要节点向量是非递减序列即可。

节点大于 1 与归一化

节点向量：

$$[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

可以整体除以 $4$，变成：

$$[0,0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1,1]$$

这两个节点向量只是做了线性参数变换。

原参数：

$$u\in[0,4]$$

新参数：

$$\bar{u}\in[0,1]$$

二者关系是：

$$\bar{u}=\frac{u}{4}$$

或者：

$$u=4\bar{u}$$

如果控制点和权重不变，它们表示的几何曲线通常是一样的，只是参数表示不同。

例如使用节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

参数取：

$$u=2$$

如果归一化为：

$$\bar{U}=[0,0,0,0,0.25,0.5,0.75,1,1,1,1]$$

那么对应参数是：

$$\bar{u}=0.5$$

因为：

$$\bar{u}=\frac{2}{4}=0.5$$

这两个参数对应的是曲线上的同一个位置：

$$C_U(2)=C_{\bar{U}}(0.5)$$

所以节点大于 $1$ 并不奇怪，只是参数刻度没有归一化。

节点区间决定曲线分段

仍然看这个例子：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

有效参数范围是：

$$[0,4]$$

有效节点区间是：

[0,1], [1,2], [2,3], [3,4]

所以这条 NURBS 曲线可以看成由 4 段曲线拼接而成：

第 1 段：u ∈ [0,1]
第 2 段：u ∈ [1,2]
第 3 段：u ∈ [2,3]
第 4 段：u ∈ [3,4]

但它们不是随便拼起来的，而是由 B 样条基函数保证连续性。

只有 $u_k < u_{k+1}$ 的区间才是真正的曲线段。

如果节点重复导致出现：

[2,2]

这种零长度区间，它不对应真实曲线段。

根据分段和次数确定控制点

这是理解节点向量最关键的一步。

对于 $p$ 次 B 样条 / NURBS：

$$\boxed{ \text{每个非零节点区间内，最多由 }p+1\text{ 个控制点参与计算} }$$

如果参数 $u$ 落在节点区间：

$$u_k \le u < u_{k+1}$$

那么参与计算的控制点通常是：

$$\boxed{ P_{k-p},P_{k-p+1},\dots,P_k }$$

一共：

$$p+1$$

个控制点。

这里的 $k$ 就是当前 knot span 的索引。

三次 NURBS 分段控制点示例

假设曲线次数为：

$$p=3$$

控制点为：

$$P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6$$

节点向量为：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

有效参数区间是：

$$[0,4]$$

非零节点区间为：

[0,1], [1,2], [2,3], [3,4]

因为 $p=3$，所以每一段由：

$$p+1=4$$

个控制点参与。

曲线段	参数区间	span 索引 $k$	参与控制点
第 1 段	$[0,1]$	$3$	$P_0,P_1,P_2,P_3$
第 2 段	$[1,2]$	$4$	$P_1,P_2,P_3,P_4$
第 3 段	$[2,3]$	$5$	$P_2,P_3,P_4,P_5$
第 4 段	$[3,4]$	$6$	$P_3,P_4,P_5,P_6$

开放节点向量与首尾插值

对于三次曲线：

$$p=3$$

常见开放节点向量会让首尾节点重复 $p+1=4$ 次：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

开头四个 $0$：

$$0,0,0,0$$

结尾四个 $4$：

$$4,4,4,4$$

这样做的效果是：曲线会经过第一个控制点和最后一个控制点。

也就是：

$$C(0)=P_0$$

$$C(4)=P_6$$

这和 Bézier 曲线类似，比较符合建模直觉。

如果不重复首尾节点，曲线一般不会经过首尾控制点。

节点重复与连续性

节点向量中可以重复内部节点。例如三次曲线：

$$U=[0,0,0,0,1,2,2,3,4,4,4,4]$$

这里内部节点 $2$ 重复了两次。

对于 $p$ 次曲线，如果内部节点重复 $r$ 次，该节点处连续性为：

$$C^{p-r}$$

三次曲线 $p=3$：

• 内部节点重复 $1$ 次：连续性 $C^2$
• 内部节点重复 $2$ 次：连续性 $C^1$
• 内部节点重复 $3$ 次：连续性 $C^0$
• 内部节点重复 $4$ 次：可能断开或形成强制插值

没有额外重复时

节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

内部节点 $1,2,3$ 都只出现一次。

对于三次曲线：

$$p=3,\quad r=1$$

连续性是：

$$C^{3-1}=C^2$$

也就是说，曲线在这些节点处非常光滑：

• 位置连续
• 一阶导数连续
• 二阶导数连续

节点重复两次

节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,2,3,4,4,4,4]$$

内部节点 $2$ 重复两次：

$$r=2$$

连续性变为：

$$C^{3-2}=C^1$$

曲线仍然位置连续、切线连续，但曲率可能不连续。

直观上就是：

曲线在 $u=2$ 附近会更“紧”一些，光滑程度下降。

节点重复三次

节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,2,2,3,4,4,4,4]$$

内部节点 $2$ 重复三次：

$$r=3$$

连续性变为：

$$C^{3-3}=C^0$$

也就是只有位置连续，切线方向可以发生突变。

直观上可能形成一个尖点或折角。

非均匀节点有什么意义

如果节点间距相等，例如：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

中间间距都是 $1$，这是比较均匀的参数分布。

如果节点间距不等，例如：

$$U=[0,0,0,0,0.2,0.8,3,4,4,4,4]$$

这就是非均匀节点。

非均匀节点的作用是：

• 可以让参数分布更灵活
• 可以让曲线在某些区域变化更快或更慢
• 可以控制局部形状
• 可以表示端点插值
• 可以控制节点处连续性

注意：非均匀节点不一定直接改变曲线的几何形状，但会影响参数化方式、基函数分布，以及控制点影响的参数范围。

节点不是曲线长度比例

需要特别注意：节点区间长度不是曲线真实弧长。

例如：

$$[0,0.25]$$

这个参数区间长度是：

$$0.25$$

但它不意味着这一段曲线的真实长度占整条曲线的 $25\%$。

NURBS 的参数 $u$ 通常不是弧长参数。

所以：

• 参数走了 $25\%$
• 不代表曲线长度也走了 $25\%$
• 不代表屏幕上的距离是 $25\%$

它只是参数空间中的比例。

控制点影响范围

可以把参数 $u$ 想象成动画时间。

控制点的影响不是一直存在，而是在某个时间段内逐渐出现、达到最大、再逐渐消失。

例如三次 B 样条中，一个控制点 $P_i$ 的影响范围大致从：

$$u_i$$

到：

$$u_{i+p+1}$$

也就是说：

$$P_i \text{ 的影响区间 }=[u_i,u_{i+p+1}]$$

对于三次曲线 $p=3$：

$$P_i \text{ 的影响区间 }=[u_i,u_{i+4}]$$

这就是为什么节点向量决定控制点影响范围。

例子：P2影响哪些区间

节点向量：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

次数：

$$p=3$$

控制点 $P_2$ 的影响范围是：

$$[u_2,u_{2+p+1}]=[u_2,u_6]$$

查节点向量：

$$u_2=0,\quad u_6=3$$

所以：

$$P_2 \text{ 影响 } u \in [0,3]$$

也就是影响这些区间：

[0,1], [1,2], [2,3]

它不会影响：

[3,4]

例子：P5影响哪些区间

控制点 $P_5$ 的影响范围是：

$$[u_5,u_{5+p+1}]=[u_5,u_9]$$

查节点向量：

$$u_5=2,\quad u_9=4$$

所以：

$$P_5 \text{ 影响 } u \in [2,4]$$

也就是只影响后两段：

[2,3], [3,4]

它不会影响前面的：

[0,1], [1,2]

B 样条基函数

B 样条基函数 $N_{i,p}(u)$ 是递归定义的。

零次基函数为：

$$N_{i,0}(u)= \begin{cases} 1, & u_i \le u < u_{i+1} \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

高次基函数递推为：

$$N_{i,p}(u)= \frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) + \frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)$$

这个递推公式称为 Cox-de Boor 递推公式。

如果分母为 $0$，对应项通常按 $0$ 处理。

这个公式看起来复杂，但直观意义是：高阶 B 样条基函数由低阶基函数逐层混合得到。

这和 de Casteljau 算法中逐层线性插值的思想很像。

NURBS 的有理形式

普通 B 样条是：

$$C(u)=\sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)P_i$$

NURBS 多了权重 $w_i$：

$$C(u)= \frac{ \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_iP_i }{ \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_i }$$

这就是 Rational，也就是“有理”的意思。

它和有理 Bézier 非常类似。

可以定义有理基函数：

$$R_{i,p}(u)= \frac{ N_{i,p}(u)w_i }{ \sum_{j=0}^{n}N_{j,p}(u)w_j }$$

于是 NURBS 可以写成：

$$C(u)=\sum_{i=0}^{n}R_{i,p}(u)P_i$$

权重的作用仍然是：

改变控制点对曲线的相对吸引力。

当所有权重都为 $1$ 时，NURBS 退化为普通 B 样条：

$$w_0=w_1=\cdots=w_n=1$$

NURBS 的计算方法

NURBS 可以用公式直接计算：

$$C(u)= \frac{ \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_iP_i }{ \sum_{i=0}^{n}N_{i,p}(u)w_i }$$

但实际工程中通常使用 de Boor 算法。

它是 B 样条 / NURBS 版本的 de Casteljau 算法。

计算流程是：

参数 u
↓
找到 u 所在的 knot span
↓
取出局部 p+1 个控制点
↓
如果是 NURBS，先转为齐次坐标
↓
使用 de Boor 递推插值
↓
投影回普通坐标
↓
得到曲线点 C(u)

对于二维 NURBS，先将控制点转成齐次坐标：

$$P_i=(x_i,y_i)\\ P_i^h=(w_ix_i,w_iy_i,w_i)$$

对 $P_i^h$ 使用 de Boor 算法，得到：

$$Q(u)=(X(u),Y(u),W(u))$$

最后投影：

$$C(u)= \left( \frac{X(u)}{W(u)}, \frac{Y(u)}{W(u)} \right)$$

三维时类似：

$$P_i^h=(w_ix_i,w_iy_i,w_iz_i,w_i)$$

$$C(u)= \left( \frac{X(u)}{W(u)}, \frac{Y(u)}{W(u)}, \frac{Z(u)}{W(u)} \right)$$

de Boor 算法也是逐层插值。

假设参数 $u$ 位于：

$$u_k \le u < u_{k+1}$$

对于 $p$ 次 B 样条，参与计算的控制点是：

$$P_{k-p},P_{k-p+1},\dots,P_k$$

递推初始化为：

$$P_i^{(0)}=P_i$$

然后逐层计算：

$$P_i^{(r)} = (1-\alpha_i^{(r)})P_{i-1}^{(r-1)} + \alpha_i^{(r)}P_i^{(r-1)}$$

其中：

$$\alpha_i^{(r)} = \frac{ u-u_i }{ u_{i+p-r+1}-u_i }$$

最后得到曲线点。

这个形式和 de Casteljau 很像，区别是：

• de Casteljau 的插值参数通常就是 $t$
• de Boor 的插值参数由节点向量决定

所以可以理解为：de Boor = 带节点向量控制的 de Casteljau。

Bezier、B 样条、NURBS 的关系

三者可以这样理解：

Bézier
  ↓ 增加节点向量和局部控制
B-Spline
  ↓ 增加权重和有理形式
NURBS

也可以说：

• Bézier 是特殊的 B 样条
• B 样条是权重全为 $1$ 的 NURBS
• 有理 Bézier 是特殊节点向量下的 NURBS

对于 $n$ 次 Bézier，可以用节点向量：

$$[0,0,\dots,0,1,1,\dots,1]$$

其中 $0$ 重复 $n+1$ 次，$1$ 重复 $n+1$ 次。

例如三次 Bézier：

$$[0,0,0,0,1,1,1,1]$$

所以 Bézier 其实可以看作只有一个 knot span 的 B 样条。

节点插入

节点插入就是在节点向量中增加一个节点值。

例如原来：

$$U=[0,0,0,0,1,2,3,4,4,4,4]$$

插入一个节点：

$$u=1.5$$

变成：

$$U'=[0,0,0,0,1,1.5,2,3,4,4,4,4]$$

节点插入后：

• 曲线形状可以保持不变
• 控制点数量会增加
• 曲线被分成更多段
• 局部编辑能力增强

这在 CAD 中非常重要。

也就是说：插入节点不是为了改变曲线形状，而是为了增加局部控制能力。

NURBS 曲线的优缺点

NURBS 在 CAD 中广泛使用，是因为它同时具备以下优点：

• 可以精确表示直线、圆、椭圆、圆锥曲线
• 可以表示自由曲线
• 支持局部控制
• 支持高阶连续性
• 可以通过权重调节形状
• 节点向量可以控制参数分布和连续性
• 适合曲线、曲面统一表示
• 适合几何内核计算

这也是为什么 OpenCASCADE、Parasolid、ACIS 等几何内核都大量使用 NURBS 或 B 样条。

NURBS 也不是没有缺点：

• 数据结构比 Bézier 更复杂
• 需要理解节点向量
• 参数 $u$ 不一定对应真实弧长
• 权重过大或过小可能导致数值问题
• 曲线形状不如低阶 Bézier 那么直观
• 节点重复会影响连续性，需要谨慎处理

所以在简单 UI 绘图中，可能 Bézier 更方便；但在 CAD 几何建模中，NURBS 更强大。

总结

NURBS 可以这样理解：

$$\boxed{ \text{NURBS}=\text{非均匀节点向量}+\text{B 样条基函数}+\text{控制点权重} }$$

从曲线家族关系看：

$$\boxed{ \text{Bézier} \subset \text{B-Spline} \subset \text{NURBS} }$$

从计算角度看：

$$\boxed{ \text{Bézier 用 de Casteljau，NURBS 用 de Boor} }$$

从几何能力看：

$$\boxed{ \text{NURBS 既能表示自由曲线，也能精确表示圆和圆锥曲线} }$$

节点向量不是曲线上的点，也不是控制点，而是参数轴上的分段规则。

一句话总结节点向量：

$$\boxed{ \text{节点向量} = \text{参数轴上的分段表 + 控制点影响范围表 + 连续性控制表} }$$

更直观地说：控制点决定曲线往哪里走，权重决定控制点吸引力，节点向量决定曲线按什么参数节奏分段、每段由谁控制、段与段之间有多光滑。