对Bezier曲线的一些理解

本文介绍了Bezier曲线的几个核心问题！

普通Bezier曲线

普通 $n$ 次Bezier曲线定义为：

$$C(t)=\sum_{i=0}^{n} B_{i,n}(t)P_i$$

其中 Bernstein 基函数为：

$$B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i$$

并且：

$$\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)=1$$

所以普通Bezier曲线可以理解为： 在每个参数 $t$ 处，对所有控制点 $P_i$ 做一次加权平均。

有理Bezier曲线

有理Bezier曲线在每个控制点前增加了权重 $w_i$：

$$C(t)= \frac{ \sum_{i=0}^{n} w_i B_{i,n}(t)P_i }{ \sum_{i=0}^{n} w_i B_{i,n}(t) }$$

也可以写成：

$$C(t)=\sum_{i=0}^{n} R_{i,n}(t)P_i$$

其中：

$$R_{i,n}(t)= \frac{ w_i B_{i,n}(t) }{ \sum_{j=0}^{n} w_j B_{j,n}(t) }$$

这里的 $R_{i,n}(t)$ 叫做有理基函数。

因此，权重并不是简单地把控制点坐标放大，而是改变控制点在加权平均中的比例。

权重的作用

在有理Bezier曲线中，控制点的权重 $w_i$ 表示该控制点对曲线的吸引力强弱。

• $w_i > 1$：曲线更靠近控制点 $P_i$
• $w_i = 1$：等同于普通Bezier曲线
• $0 < w_i < 1$：曲线远离控制点 $P_i$
• $w_i = 0$：该控制点基本失去影响
• $w_i < 0$：数学上可以存在，但几何行为不直观，工程中通常避免

普通Bezier曲线不能精确表示圆、椭圆、双曲线等圆锥曲线，只能近似。

有理Bezier曲线通过权重可以精确表示这些曲线。

例如，用二次有理Bezier曲线表示一段圆弧时，中间控制点权重常取：

$$w=\cos\frac{\theta}{2}$$

其中 $\theta$ 是圆弧对应的圆心角。

例如 $90^\circ$ 圆弧：

$$w=\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.7071$$

这就是 CAD、NURBS、OpenCASCADE 等几何系统大量使用有理曲线的原因。

二次有理Bezier曲线例子

对于三个控制点：

$$P_0,\ P_1,\ P_2$$

二次有理Bezier曲线为：

$$C(t)= \frac{ (1-t)^2w_0P_0 + 2t(1-t)w_1P_1 + t^2w_2P_2 }{ (1-t)^2w_0 + 2t(1-t)w_1 + t^2w_2 }$$

通常令两端权重为：

$$w_0 = 1,\quad w_2 = 1$$

只调节中间控制点的权重：

$$w_1 = w$$

则：

$$C(t)= \frac{ (1-t)^2P_0 + 2wt(1-t)P_1 + t^2P_2 }{ (1-t)^2 + 2wt(1-t) + t^2 }$$

当 $t=0.5$ 时：

$$C(0.5)= \frac{ 0.25P_0+0.5wP_1+0.25P_2 }{ 0.5+0.5w }$$

可以看到，$w$ 越大，中间控制点 $P_1$ 的影响越大，曲线越靠近 $P_1$。

齐次坐标

有理Bezier曲线还可以理解为： 先在高一维空间中做普通Bezier曲线，然后再投影回来。

对于二维控制点：

$$P_i=(x_i,y_i)$$

引入齐次坐标：

$$P_i^h=(w_ix_i,\ w_iy_i,\ w_i)$$

在三维中计算普通Bezier曲线：

$$Q(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_i^h$$

得到：

$$Q(t)=(X(t),Y(t),W(t))$$

然后投影回二维：

$$C(t)= \left( \frac{X(t)}{W(t)}, \frac{Y(t)}{W(t)} \right)$$

这正是有理Bezier曲线公式中“分子除以分母”的来源。

当w1=0.707时，曲线为什么是精确1/4圆弧

前提

当 $w_1=0.7071\approx \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，二次有理Bezier曲线是精确 $1/4$ 圆弧，前提是控制点取成圆弧端点及其切线交点，例如单位圆第一象限：

$$P_0=(1,0),\quad P_1=(1,1),\quad P_2=(0,1)$$

权重为：

$$w_0=1,\quad w_1=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad w_2=1$$

此时曲线就是单位圆

$$x^2+y^2=1$$

上的第一象限圆弧。

二次有理Bezier曲线公式

$$C(t)= \frac{ (1-t)^2P_0 + 2wt(1-t)P_1 + t^2P_2 }{ (1-t)^2 + 2wt(1-t) + t^2 }$$

证明

令：

$$a=(1-t)^2\\ b=2wt(1-t)\\ c=t^2$$

带入点坐标，则曲线点为：

$$C(t)= \frac{ a(1,0)+b(1,1)+c(0,1) }{ D }= \left( \frac{a+b}{D}, \frac{b+c}{D} \right)$$

也就是：

$$x(t)=\frac{a+b}{D}，y(t)=\frac{b+c}{D}$$

我们要证明它在单位圆上，即：

$$x(t)^2+y(t)^2=1\\ x^2+y^2 = \left(\frac{a+b}{D}\right)^2 + \left(\frac{b+c}{D}\right)^2= \frac{(a+b)^2+(b+c)^2}{D^2}$$

因此只需要证明：

$$(a+b)^2+(b+c)^2=D^2$$

$$右式=D^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\ 左式=(a+b)^2+(b+c)^2=a^2+2ab+b^2+b^2+2bc+c^2$$

两者相等的条件是：

$$a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = a^2+c^2+2ab+2bc+2b^2\\ b^2+2ac=2b^2\\ 证明：2ac=b^2$$

前面定义：

$$a=(1-t)^2\\ b=2wt(1-t)\\ c=t^2$$

所以：

$$2ac=2(1-t)^2t^2$$

而：

$$b^2=\left(2wt(1-t)\right)^2=4w^2t^2(1-t)^2$$

要求：

$$2ac=b^2$$

即：

$$2t^2(1-t)^2 = 4w^2t^2(1-t)^2\\ w^2=\frac{1}{2}\\ w=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$$

更一般结论

对于一段圆心角为 $\theta$ 的圆弧，二次有理Bezier曲线可以精确表示它。

如果：

• $P_0$、$P_2$ 是圆弧两端点
• $P_1$ 是两端点切线的交点
• $w_0=1$
• $w_2=1$

那么中间控制点权重应取：

$$w_1=\cos\frac{\theta}{2}$$

最大可以表示多大弧度的圆弧

用一段二次有理Bezier曲线精确表示圆弧时，通常最大表示：

$$\boxed{\theta < 180^\circ}$$

也就是：

$$\boxed{\theta < \pi}$$

工程上一般不用一段表示正好 $180^\circ$，而是把圆弧拆成多段。

为什么要求小于180°

二次有理Bezier圆弧的中间权重为：

$$w_1=\cos\frac{\theta}{2}$$

其中 $\theta$ 是圆弧对应的圆心角。

当：

$$0 < \theta < 180^\circ$$

有：

$$0 < \frac{\theta}{2} < 90^\circ$$

所以：

$$\cos\frac{\theta}{2} > 0$$

权重是正数，曲线行为稳定、直观。

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等于180°

如果是半圆：

$$\theta=180^\circ\\ w_1=\cos90^\circ=0\\ w_1=0$$

这时中间控制点的权重为零。

从几何上看，半圆两端点的切线是平行的，不会相交于有限点，因此中间控制点 $P_1$ 会跑到无穷远。

所以一段普通有限控制点的二次有理Bezier曲线不能稳定表示半圆。

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大于180°

如果圆弧超过半圆：

$$\theta > 180^\circ\\ \frac{\theta}{2} > 90^\circ\\ w_1=\cos\frac{\theta}{2}<0$$

中间权重变成负数。

负权重在数学上可以讨论，但在 CAD/NURBS 建模中通常不推荐：

• 曲线可能出现不直观的形状
• 参数化可能不稳定
• 分母可能接近或经过零
• 几何解释变差
• 许多几何内核更偏好正权重

因此工程中通常不使用一段二次有理Bezier表示超过 $180^\circ$ 的圆弧。

结论

一段二次有理Bezier曲线精确表示圆弧时：

$$w_1=\cos\frac{\theta}{2}$$

因此：

• $0^\circ < \theta < 180^\circ$：权重为正，可稳定表示
• $\theta = 180^\circ$：权重为 $0$，控制点在无穷远，工程中不用
• $\theta > 180^\circ$：权重为负，通常不推荐

所以通常说：

$$\boxed{\text{一段二次有理贝塞尔曲线最大稳定表示小于 }180^\circ\text{ 的圆弧}}$$

实际工程中更推荐：

$$\boxed{90^\circ\text{ 一段，整圆拆成 4 段}}$$

Bezier曲线的计算

理论公式的局限性

普通Bezier曲线理论公式是：

$$C(t)=\sum_{i=0}^{n}B_{i,n}(t)P_i$$

其中：

$$B_{i,n}(t)=\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^i$$

这个公式当然可以直接计算，特别是阶数较低时，比如二次、三次Bezier曲线。

例如三次Bezier：

$$C(t)=(1-t)^3P_0+3(1-t)^2tP_1+3(1-t)t^2P_2+t^3P_3$$

但在实际计算中，直接公式有几个问题：

• 需要计算组合数
• 需要计算多次幂
• 高阶时数值误差更明显
• 阶数变化时实现不够统一
• 不方便做曲线分割、细分、求点构造

所以 CAD、图形学、字体、曲线编辑器中，通常更喜欢 de Casteljau 算法。

de Casteljau 算法

de Casteljau 算法的核心思想是：不断对相邻控制点做线性插值，最后得到曲线上的点。

两个点 $A$、$B$ 之间按参数 $t$ 插值：

$$L(A,B,t)=(1-t)A+tB$$

对于三次Bezier，控制点为：

$$P_0,P_1,P_2,P_3$$

第一层插值：

$$P_{0}^{1}=(1-t)P_0+tP_1$$

$$P_{1}^{1}=(1-t)P_1+tP_2$$

$$P_{2}^{1}=(1-t)P_2+tP_3$$

第二层插值：

$$P_{0}^{2}=(1-t)P_{0}^{1}+tP_{1}^{1}$$

$$P_{1}^{2}=(1-t)P_{1}^{1}+tP_{2}^{1}$$

第三层插值：

$$P_{0}^{3}=(1-t)P_{0}^{2}+tP_{1}^{2}$$

最后：

$$C(t)=P_{0}^{3}$$

这和理论 Bernstein 公式是等价的，但数值稳定性更好。

二次Bezier的直观例子

二次Bezier有三个控制点：

$$P_0,P_1,P_2$$

先插值：

$$Q_0=(1-t)P_0+tP_1$$

$$Q_1=(1-t)P_1+tP_2$$

再插值：

$$C(t)=(1-t)Q_0+tQ_1$$

这就是曲线上的点。

展开后会得到：

$$C(t)=(1-t)^2P_0+2(1-t)tP_1+t^2P_2$$

所以 de Casteljau 算法不是近似，而是和公式完全等价。

有理Bezier怎么计算

有理Bezier曲线通常有两种实际计算方式。

方式一：直接用有理公式

有理Bezier曲线为：

$$C(t)= \frac{ \sum_{i=0}^{n} w_iB_{i,n}(t)P_i }{ \sum_{i=0}^{n} w_iB_{i,n}(t) }$$

低阶曲线时直接算很方便。

例如二次有理Bezier：

$$C(t)= \frac{ (1-t)^2w_0P_0+2t(1-t)w_1P_1+t^2w_2P_2 }{ (1-t)^2w_0+2t(1-t)w_1+t^2w_2 }$$

如果你的程序只是计算二次或三次曲线上的点，这种方法完全可以接受。

方式二：用齐次坐标 + de Casteljau

工程中更统一的方式是使用齐次坐标。

二维点：

$$P_i=(x_i,y_i)$$

转换为三维齐次点：

$$P_i^h=(w_ix_i,w_iy_i,w_i)$$

然后对这些齐次点使用普通 de Casteljau 算法，得到：

$$Q(t)=(X(t),Y(t),W(t))$$

最后投影回二维：

$$C(t)= \left( \frac{X(t)}{W(t)}, \frac{Y(t)}{W(t)} \right)$$

三维点也是类似：

$$P_i=(x_i,y_i,z_i)$$

转换为四维齐次点：

$$P_i^h=(w_ix_i,w_iy_i,w_iz_i,w_i)$$

计算后再投影：

$$C(t)= \left( \frac{X(t)}{W(t)}, \frac{Y(t)}{W(t)}, \frac{Z(t)}{W(t)} \right)$$

这种方法的优点是：

• 普通Bezier和有理Bezier处理方式统一
• 数值稳定
• 适合任意阶数
• 方便做曲线分割
• 和 NURBS/CAD 内核的思想一致

实际工程的做法

低阶曲线，比如二次、三次

可以直接用公式：

$$C(t)= \frac{ \sum w_iB_i(t)P_i }{ \sum w_iB_i(t) }$$

优点：

• 代码短
• 性能好
• 容易调试
• 对二次、三次足够稳定

任意阶曲线

更推荐 de Casteljau 或其变体，原因：

• 不需要手写不同阶数公式
• 更适合动态控制点数量
• 细分曲线非常方便
• 数值稳定性更好
• 更符合几何算法实现习惯